حلول تمارين الكتاب الرياضيات ص169/170

حل التمرين 28 ص 169
1) لدينا (d) // (d') و (OC) قاطع لهما

إذن 35° = x ( بالتماثل)

2) 0.81 = 35° cos

حساب الطول OB

المثلث OBA في A ومنه = cos35°

أي = 0.81 ومنه = OB

ومنه : OB = 2.46

3) حساب AB

حسب نظرية فيتاغورس فإن

+ = ومنه 4 + = 6.9

4 – 6.9 = ومنه 2.9 =

ومنه = AB ومنه AB = 1.7 cm

4) حساب AE

المثلث AEC قائم في C إذن cosx

أي = 0.81 أي =AE ومنه AE=1.8

5) لدينا الرباعي ABDE فيه (BD) // (AE) ...(1)

(DE) // ( BA) ...لأنهما عموديان على(OC) ......(2)

من (1) و(2) ينتج أن الرباعي ABDE فيه كل ضلعان متقابلان متوازيان فهو متوازي أضلاع

أطواله BD =AE = 1.8cm و BA = DE = 1.7cm

حل التمرين 29 ص 169
* في المثلث ABC لدينا = cos صواب

* BC = 3 خطأ

*طول الوتر يساوي حوالي 2.23 صواب

*0.89 cos خطأ

* 0.89 cos إذن 27.12° = صواب

* 0.44 cos خطأ

*63.8° خطأ

*70° خطأ


حل مسألة 34 ص 170
1) الإنشاء

2) يمكن إستعمال الزوايا لإثبات أن (AE) مماس للدائرة (C) في A أو :

في المثلث OAE لدينا OB=BE (لأن Eمنتصف [EO] ) إذن (BA) متوسط في المثلث OAE بما أن B تنتمي إلى الدائرة (C) إذن OB = 2.5cm

وOE = 5cm وAB = 2.5cm إذنOE =AB

فحسب الخاصية العكسية للمتوسط المتعلق بالوتر فإن المثلث OAE قائم في A

ـ بعد المركز O عن A يساوي قطر الدائرة و(AE) عمودي على حامل نصف القطر [OA] في A

إذن (AE) مماس للدائرة في النقطة A

حل مسألة 35 ص 170
البرهان على أن GJ = EI

لدينا EFG مثلث قائم في G وI منتصف [EF] فحسب خاصية المتوسط في المثلث القائم فإن EF = IG

أي IG = IE ........(1)

ولدينا IG = GJ .........(2)

من (1) و (2) ينتج أن GJ = IE

البرهان أن E منتصف [IK]

لدينا IJK مثلث فيه Gمنتصف [IJ] و(JK) // (EG)

حسب النظرية العكسية لمستقيم المنتصفين فإن E منتصف [IK]

البرهان على أن المثلث IJK متساوي الساقين رأسه I

لدينا IG= GJ .......(1)

IE = EK ........(2)

GJ = EI ........(3)

من (1) و(2) و(3) ينتج أن IK = IJ فالمثلث IJK متساوي الساقين رأسه I

البرهان أن (D) يوازي (FE)

لدينا (D) (KJ) و (EG) //(KJ) فإن (D) (EG)

ولدينا (FG) (EG) إذن (D) // (FG)

البرهان على أن L منتصف [EG]

المثلث EIGمتساوي الساقين فيه (IL) إرتفاع متعلق بالضلع[EG] فهو متوسط فإن Lمنصف [EG]


حل مسألة 36 ص 170
1) إنشاء دائرة (E) مركزها O ونصف قطرها 3cm

تعيين A من الدائرة (E)

2) إنشاء المماس للدائرة (E) في A

تعيين C من هذا المماس حيث AC= 2cm

حسابOC

المثلث OAC قائم A لأن المماس الذي يشمل C عمودي على المستقيم القطري (OA) وحسب نظرية فيتاغورس فإن

+ = أي 4 + 9 = إذن 13 =

ومنه = ومنه 3.60 = OC

حساب cos

= = cos ومنه 3.60 = cos

ـ نظيرة C بالنسبة إلىI هي O

3) طبيعة الرباعي OACD

الرباعي OACD فيه القطران [AD] و [OC] متناصفان

فهو متوازي أضلاع وفيه زاوية قائمة فهو مستطيل

حساب مساحة المستطيل OACD

OC × OA = S

ومنه 2 × 3 = S

إذن S


حل مسألة 37 ص 170
1) إنجاز الشكل حسب المعطيات الواردة في بداية نص المسألة

2) مركز الدائرة (E) هو O ونصف قطرها IO

لأن OB =BJ و IA = AO و OA = OB أي OA=OB

أي OI = OJ

3) طبيعة المثلث ONJ

* المستقيم (NJ) مماس للدائرة (C) في N إذن

(NJ) (NO) حسب خاصية المماس فالمثلث ONJ قائم في N

* طبيعة المثلث IMJ

المثلث IMJ فيه الضلع [IJ] قطر للدائرة (E) و M نقطة من الدائرة (E) حسب النظرية العكسية لنظرية الدائرة المحيطة بمثلث قائم فإن المثلث IMJ قائم في M

4) البرهان أن (MI) يوازي (NO)

لدينا (NJ) (ON) أي (MJ) (ON) .....(1)

ولدينا أيضا ( MJ) ( IM) برهانا ...........(2)

من (1) و(2) ينتج أن (NO) // (MI)

ـ البرهان أن N منتصف [JM]

المثلث JMI فيه O منتصف [IJ] و (IM) // (ON)

حسب النظرية العكسية لمستقيم المنتصفين فإن N منتصف [MJ]

ـ حساب IM

* إثبات أن المثلث IMO متقايس الأضلاع

لدينا (IM) // (ON) و (IJ) قاطع لهما فإن = بالتماثل

ولدينا (IM) // (ON) و (MO) قاطع لهما فإن

= .....بالتبادل الداخلي (2)

ولدينا 180° = + + .........(3)

180° = + + ..........(4)

من (1) و(2) و (3) و(4)

ينتج أن 60° = = = فالمثلث IMO متقايس الأضلاع إذن IM = 3cm

ـ حساب MJ

حسب نظرية فيثاغورس على المثلث القائم IMJ

+ = أي + 9 = 36 ومنه 9-36 =

ومنه 27 = أي = MJ ومنه MJ = 5.19 cm

حساب cos

0.5 = = = cos

0.86 = = = cos



5) البرهان على أن (BN) // ( OM)

لدينا : N منتصف [MJ] و O منتصف [IJ] حسب نظرية مستقيم المنتصفين فإن (BN) // (OM)

حساب OM

بما أن المثلث IMJ قائم M و O منتصف [MJ] فإن (MO) متوسط متعلق بالوتر [IJ] ومنه OM = 3cm

حساب NB

بنفس الطريقة نجد NB = 1.5cm

6) بما أن D منتصف [OM] فإن OD = 1.5 cm و الدائرة (C)نصف قطرها 1.5cm إذن D تنتمي إلى الدائرة (C)

ـ الرباعيBNDO فيه DO = NB و (NB) // (DO) فهو متوازي أضلاع وفيه OD = OB فهو معين